[i][size=12][color=blue]dmitrievala@mail.ru
Открытый урок по алгебре в 9 классе
с профильным изучением математики
темa «Решение иррациональных уравнений»
( 2 часа)
Дмитриева Любовь Александровна, учитель математики
МОУ СОШ №17 г. Твери с углублённым изучением математики
Цели урока:
образовательная: обобщение и углубление знаний учащихся; на уроке вырабатывается умение решать иррациональные уравнения, применяя исследовательские навыки при выборе методов решения;
воспитательная: формирование навыков самоконтроля; воспитание настойчивости, усердия, аккуратности.
развивающая: развитие логического мышления; повышение мыслительной деятельности учащихся; развитие умений исследовательской деятельности.
Методы:
репродуктивный;
поисковый.
Формы организации учебной деятельности:
фронтальная;
индивидуальная.
Тип урока: урок-смотр знаний.
Оборудование:
компьютер;
мультимедийный проектор;
интерактивная доска;
магнитная доска;
карточки.
таблица с правилами решения иррациональных уравнений.
1. √(f(x) )=g(x) □(⇔┬ ) {█(f(x)=g^2 (x),@g(x)≥0.)┤
2. √(f(x) )=√(g(x) ) □(⇔┬ ) f(x)= g(x)≥0.
Ход урока
I.Организационный момент.
II.Проверка и анализ домашнего задания.
К этому уроку были заданы следующие упражнения:
Решить уравнение √(15+3х)=1-х;
а) используя определение арифметического квадратного корня;
б) с использованием проверки корней уравнения.
2) решить уравнение, используя введение новой переменной:
а) x^2+3∙√(x^2-3х)=3х+10; б) √((х+2)/(2х-1))+16√((2х-1)/(х+2))=8;
3) решить уравнение, используя свойства монотонности функций:
2√х+√(х-3)=5.
4) доказать, что уравнение √(х-8)+3=√(7-х) не имеет решений.
Пять учащихся на магнитной доске прикрепляют решения, выполненные и оформленные дома на больших листах бумаги, комментируют решения и недостатки используемых методов решения. Например, при возведении обеих частей уравнения в степень надо следить за равносильностью преобразований, можно не следить за равносильностью, тогда в конце решения надо сделать проверку найденных корней. В некоторых случаях проверка найденных корней уравнения-следствия затруднена, поэтому в этих случаях удобнее решать способом, основанном на его равносильных преобразованиях.
В некоторых уравнениях удобно решать методом замены переменных, т.к. при упрощении исчезают радикалы. Вывод: выбирать наиболее подходящий метод для решения каждого конкретного уравнения.
III. Практическая часть.
Даётся задание на интерактивной доске для учащихся класса, разбитых на 4 группы.
Решить уравнение: √(х-1)+√(х+3)=2 указанным для каждой группы методом:
1 группа решает возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень неоднократно с последующей проверкой.
2 группа решает с помощью метода равносильных преобразований.
3 группа решает методом введения новой переменной.
4группа решает используя свойство монотонности функций.
После того, как большинство из каждой группы выполнили задание, учитель вызывает к доске по одному представителю из каждой группы для решения ( в том числе на интерактивной доске маркером). В это время учитель выборочно просматривает работы нескольких учащихся. Остальные учащиеся проверяют и записывают решения этого уравнения ещё одним методом по их желаниям.
Итог: учащиеся выбирают наиболее удобный способ решения этого уравнения.
На интерактивной доске предлагаются задания по двум вариантам для самостоятельной работы:
Решите уравнения:
1 вариант
√(3x^2-6х+16)=2х-1; 2) (х+1) √(x^2-х-6)=6х+6.
2 вариант
1) 2∙√(5x^2-5х+1)=6х-1; 2) (2-х) √(x^2-х-20)=12-6х.
Те,кто выполнил эти задания раньше остальных,получают карточки с заданием:
Карточка №1
Решить уравнение: √((х-1)/(2х+1))+√((2х+1)/(х-1))=10/3 и найти модуль разности корней.
Карточка №2
Решить уравнение: √((3х+2)/(2х-3))+√((2х-3)/(3х+2))=2,5 и найти сумму модулей корней .
Решения проверяются учащимися самостоятельно, сравнивая свои решения, с решениями представленными на интерактивной доске (приложение 2, приложение 3).
Учащиеся оценивают свою работу и выставляют оценки в оценочный лист.
IV. Подведение итого, выставление оценок, домашнее задание:
Б.Г.Зив, В. А. Гольдич Дидактические материалы, п.11, в-4, №2(а,б,в),
М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л. И. Звавич, Сборник задач по алгебре 8-9 кл., №11.125(в), 11.122 (а,б).
Приложение 1
Решение домашнего задания:
1.√(15+3х)=1-х;
1 способ
{█(1-х≥0;@15+3х=(1-х)^2;)┤ □(⇔┬ ) {█(x^2-5х-14=0;@х≤1;)┤ □(⇔┬ ) {█(х=7;х=-2@х≤1;)┤; □(⇔┬ ) х=-2.
2 способ
15+3х=(1-х)^2; □(⇒┬ ) x^2-5х-14=0; □(⇒┬ ) х_1=-2; х_2=7.
Проверка
х_1=-2 √(15+3∙(-2) )=√9=3; 1-(-1)=3; 3=3. Значит, -2 – корень уравнения.
х_2=7 √(15+3∙7)=√36=6; 1-7=-6; 6≠-6. Значит, 7 – посторонний корень уравнения.
2. √((х+2)/(2х-1))+16√((2х-1)/(х+2))=8;
Пусть √((х+2)/(2х-1))=а;а≥0. Тогда √((2х-1)/(х+2))=1/а .
а+16∙ 1/а=8; а^2-8а+16=0; а=4.
√((х+2)/(2х-1)) =4; (х+2)/(2х-1)=16; x=18/31 .
3. 2√x+√(x-3)=5;
Пусть f(x)=2√x+√(x-3). у=f(x) возрастающая функция на своей области определения,значит, функция принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а, следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
f(4) =2√4+ √(4-3)=5, т.е. 4 единственный корень исходного уравнения.
4. √(х-8)+3=√(7-х)
Область допустимых значений данного уравнения {█(х-8≥0;@7-х≥0; )┤ ∅
Значит, данное уравнение корней не имеет.
Приложение 2
Практическая часть урока
1 группа
√(х-1)+√(х+3)=2
Решение:
√(х-1)+√(х+3)=2; □(⇒┬ ) х-1+2√(х-1) √(х+3)+х+3=4;□( ⇒┬ )
√(х-1) √(х+3)=1-х; ⇒┬ (х-1)(х+3)=(1-х)^2; ⇒┬ х=1.
Проверка:
√(1-1)+√(1+3)=2; 2=2.
1 – корень уравнения.
2 группа
√(х-1) √(х+3)=1-х;□( ⇔┬( ) ) {█(1-х≥0;@(х-1)(х+3)=(1-х)^2 )┤ ; ⇔┬( ) {█(х=1;@-3≤х≤1;)┤ ⇔┬( ) х=1.
3 группа
√(х-1)+√(х+3)=2
Пусть √(х-1)=a, a≥0; √(х+3)=b, b≥0.
{█(a+b=2;@b^2-a^2=4;)┤ ⇔┬( ) {█(b=2@a=0)┤;
a=0; √(х-1)=0; x=1. Проверка показывает, что 1 – корень исходного уравнения.
4 группа
√(х-1)+√(х+3)=2;
Пусть f(x)=√(x-1)+√(x+3).
у=f(x) возрастающая функция на своей области определения,значит, функция принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а, следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
f(1) =√(1-1)+ √(1+3)=2, Значит, 1 – единственный корень исходного уравнения.
Приложение 3
Решение уравнений из самостоятельной работы:
вариант 1
√(3x^2-6х+16)=2х-1; ⇒┬ 3x^2-6х+16=(2х-1)^2 ⇒┬ x^2+2х-15=0; ⇒┬ х_1=-5; х_2=3.
Проверка
х=-5; √(3∙25+30+16)=11; 2∙(-5)-1=-11; 11≠-11.
Значит, -5 – посторонний корень.
х=3; √(3∙9-18+16)=5; 2∙3-1=5; 5=5.
Значит, 3 – корень уравнения.
2) (х+1) √(x^2-х-6)=6х+6. ; ⇒┬ (х+1)(√(x^2-х-6)-6)=0; ⇔┬( )
⇔┬( ) {█([█(х+1=0;@√(x^2-х-6)-6=0;)┤@x^2-х-6≥0;)┤ ⇔┬( ) {█([█(х=-1;@х=-6;@х=-7;)┤@[█(х≤-6;@х≥7;)┤ )┤ ⇔┬( ) [█(х=-6;@х=7.)┤
вариант 2
2∙√(5x^2-5х+1)=6х-1; ⇔┬( ) {█(4(5x^2-5х+1)=(6х-1)^2;@6х-1≥0;)┤ ⇔┬( ) {█([█(х=-3/4;@х=1/4;)┤@х≥1/6;)┤ ⇔┬( )
⇔┬( ) х= 1/4.
2) (2-х) √(x^2-х-20)=12-6х ; ⇒┬ (2-х)(√(x^2-х-20)-6)=0; ⇔┬( )
⇔┬( ) {█([█(2-х=0;@√(x^2-х-20)-6=0;)┤@x^2-х-20≥0;)┤ ⇔┬( ) {█([█(х=2;@х=8@х=-7;)┤@[█(х≤-4;@х≥5;)┤ )┤ ⇔┬( ) [█(х=-7;@х=8.)┤ |
