СМИ ЭЛ № ФС 77 - 56403
+16Всероссийские конкурсы
         для педагогов

Форма входа

Печатный сборник

Сайт для педагогов

Сайт для учащихся

Минобр

Каталог файлов

Копирование разрешено только при указании прямой ссылки на материал и сохранении авторства.

Главная » Файлы » Конкурсы 2012-2016 уч.г » Лучшая методическая разработка

Тригонометрические уравнения
[ Скачать с сервера (50.5Kb) ] 22.12.2013, 01:59
Тема: тригонометрические уравнения

Подготовка к семинару (≈1 неделя)
Всем учащимся даются задания:
Записать в тетради решения простейших тригонометрических уравнений вида:
sin⁡x = a; cos⁡x=a; tg x =a; сtg x =a

Решить уравнения
а) cos⁡〖2x 〗= 1/2 отв. х = ±π/6+ πk,kϵZ

б) sin⁡3x = 0 отв. х=πk/3, kϵZ

в) tg x =1/√3 отв. х = π/6+ πk,kϵZ

г) 8cos^2 x+6sin⁡x-3=0 отв. х =〖(-1)〗^(k+1) π/6+ πk,kϵZ

д) 2tgx-2 сtg x=3 отв. х =arctg 2 + πk,kϵZ
-arctg 1/2 + πk,kϵZ

е) 3sin^2 x+sin⁡x cos⁡x=2cos^2 x | cos^2 x⧧0
отв. х =arctg 2/3 + πk,kϵZ
х =- π/4+ πk,kϵZ

ж) sin⁡5x+cos⁡〖5x 〗=0 отв. х = 3π/20+ πk/5,kϵZ

з) 2sin^3 x+cos⁡x sin⁡2x=-1 на [0;2π] отв. x=7/6 π
x=11/6 π

Сообщается план семинара.
1)Доклад об истории развития тригонометрии.

2) Решение тригонометрических уравнений, содержащих одну и ту же функцию одного и того же аргумента, методом подстановки. Подобрать 2-3 уравнения.

3)Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу по формулам:
〖a) sin〗^2 x+cos^2 x=1
б) tgxсtg x=1
в) cos⁡〖2x 〗=2cos^2 x-1
г) cos⁡〖2x 〗=1-2sin^2 x
4) Решение однородных уравнений.
5) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
6) Показать прикладную направленность данной темы.
Решение одной-двух задач по физике, в которых используется умение решать тригонометрические уравнения.
7) Решение уравнений различными способами.

Организация урока-семинара
Класс разбивается на 6 групп и каждая группа получает одно из заданий, перечисленных в плане семинара, седьмое задание оставляется для себя. Каждая группа при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы учебника, использует дополнительную литературу, получает консультацию учителя. Учащиеся представляют тетради, в которых записаны схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений.

cos⁡x=a

Если |а|>1,то хϵ0
Если |а| ≤1,то х=±arccos a+ 2πk,kϵZ

Особые случаи:
cos⁡x=1; x=2πk,kϵZ
cos⁡x=-1; x=π+2πk,kϵZ 0 ≤ arccos a ≤ π; aϵ[-1;1]
cos⁡x=0; x=π/2+πk,kϵZ arccos (-a)= π-arccos⁡〖 a〗

sin⁡x=a

Если |а|>1,то 0
Если |а|≤1,то х=〖(-1)〗^karcsin a+ πk,kϵZ

Особые случаи:
sin⁡x=1; x=π/2+2πk,kϵZ
sin⁡x=-1; x=- π/2+2πk,kϵZ - π/2 ≤ arcsin a ≤ π/2;
sin⁡x=0; x=πk,kϵZ arcsin (-a)= π-arcsin⁡〖 a〗

tg⁡x=a

x=arctg a+ πm - π/2 ≤ arctg a ≤ π/2;
tg x=0; x= πk arctg (-a)=- arctg a

Ход урока-семинара
Представитель 1-й группы делает доклад об истории развития тригонометрии
Представитель 2-й группы объясняет решение уравнений:
3cos^2 x/2 – cos⁡〖x/2〗- 2=0 отв. x=4 πk,
x=±2arccos(-π/3)+ 2 πk
2sin^2 2x + 5sin⁡2x- 3=0 отв. x=(〖-1〗^k)π/12+πk/2,
Представитель 3-й группы показывает решение уравнений:
4sin^2 x + cos⁡x- 31/2=0 отв. x=± π/3+2πk
x=±( π-arccos 1/4)+2πk
cos2x/3-5cosx/3-2=0 отв. x=±2π+6πn nϵZ
При каких значениях х принимают равные значения функции:
y=1+cos x и y=-cos 2x

Ответ: функции принимают равные значения при х=π/2+πk;
х=± 2/3 π+2πk,kϵZ
Представитель 4-й группы объясняет решение однородных тригонометрических уравнений:
a sin⁡x+bcos⁡〖x 〗=0 – однородное тригонометрическое уравнение 1 степени относительно sin⁡x и cos⁡〖x 〗
Оно решается делением обеих частей на cos⁡〖x 〗≠0. В результате получается a tgx+b=0 tgx=-b/a
3sin^2 x + sin⁡x cos⁡x=2cos^2 x
Ответ: х=-π/4+πk, х=arctg2/3+ πk,kϵZ
sin 2x -2cos^2 x =0
Ответ: х=π/2+πk, х=π/4+πk,kϵZ
Внимание! Уравнение:
2sin⁡x cos⁡x 〖-2cos〗^2 x=0-нельзя делить на cos^2 x,так как потеряем серию корней х= π/2+πk
sin^2 x - sin⁡2x=0
Ответ: х=πk, х=arctg2+ πk

Представитель 5-й группы объясняет решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
sin 3x cos 2x-cos 3x sin 2x=sin⁡(π-2x)
Ответ: х=πk, х=±π/3+2πk,kϵZ

2sin^3 x +cos⁡〖x sin⁡2x 〗=-1
Найти все корни ϵ пром.[0;2π]
Ответ:1. х=〖(-1)〗^(k+1) π/6+πk,kϵZ,
2. 7/6 π; 11/6 π ϵ[0;2π]
3. sin^2 x -cos^2 x= cos x/2
Ответ: x=2/5 π+4/5 πk, x=2/3 π+4/3 πk,kϵZ
Представитель 6-й группы решает физические задачи и объясняет прикладную направленность тригонометрических уравнений.
Спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копье на 90м 86см. На каком расстоянии приземлилось бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения в Осло 9,819 м/сек2, а в Токио - 9,798 м/сек2

l1=90,86м
g1=9,819 м/c2
g2=9,798 м/c2
V01=V02

l2 -?

L=(V0 cos⁡〖α∙V0 sin⁡α 〗)/g=(〖V0〗^2∙sin2α)/2g
V0sin α-gt=0 t=V0sinα/g

l1=(〖V01〗^2∙sin2α)/2g1 и l2=(〖V02〗^2∙sin2α)/2g2

l1/l2=g1/g2 l2 = l1g2/g1=(90,86∙9,819)/9,798=91,05 м

Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 40°. Определить коэффициент трения.



mg+N+Fтр=0
OX: mg sinα - Fтр = 0
OY: N- mg cosα = 0
N=mg cosα
Fтр= μN=μ(mg cosα)
mg sinα - μmg cosα =0
mg sinα = μmg cosα
μ=(mg sinα)/(mg cosα)=tgα

Решение уравнений различными способами
〖1.sin〗^4 x+〖cos〗^4 x=7/8

I способ.
〖sin〗^4 x+〖cos〗^4 x=〖〖(sin〗^2 x+〖cos〗^2 x)〗^2-2〖sin〗^2 x 〖cos〗^2 x
1-2〖sin〗^2 x 〖cos〗^2 x=7/8
2〖sin〗^2 x 〖cos〗^2 x=1/8
〖sin〗^2 2x=1/4
sin 2x=±1/2
Отв. х=±π/12+πk/2,kϵZ

II способ.
Понизим степень sin и cos
〖sin〗^4 x+〖cos〗^4 x= 〖〖(sin〗^2 x)〗^2+〖(〖cos〗^2 x)〗^2=〖((1-cos2x)/2)〗^2+〖((1+cos2x)/2)〗^2
(2+2〖cos〗^2 2x)/4=7/8; 〖cos〗^2 2x=3/4; cos 2x=±√3/2
2х=±π/6+πk
Отв. х=±π/12+πk/2,kϵZ

2.〖 sin〗⁡x – cos⁡〖x=〗 1

I способ.

2〖 sin〗⁡〖x/2〗 cos x/2 - 〖cos〗^2 x/2+〖sin〗^2 x/2=〖sin〗^2 x/2+〖cos〗^2 x/2
2〖 sin〗⁡〖x/2〗 cos x/2- 2〖cos〗^2 x/2=0
cos x/2=0 〖 sin〗⁡〖x/2〗 - cos x/2=0 | cos x/2
х=π+2πk tgx/2 = 1 x=π/2+2πk

II способ.
〖 sin〗⁡x – (1+cos⁡〖x)=〗0
2〖 sin〗⁡〖x/2〗 cos x/2 - 2〖cos〗^2 x/2=0
2 cos x/2(〖 sin〗⁡〖x/2〗 - cos x/2)=0 (далее как в I сп.)

III способ.
〖 sin〗⁡x- sin⁡(π/2 – x)=1
2〖 sin(〗⁡〖x- 〗 π/4) cos π/4=1
x-π/4=(-1)^k arcsin √2/2+πk
x=(-1)^k π/4+πk+π/4
Этот ответ можно записать в виде
{█(x=π+2πk@x=π/2+2πk)┤

IV способ Возв. в квадрат
(〖sin⁡x-cos⁡〖x)〗〗^2=1^2
1-sin⁡2x=1
sin⁡2x=0
x=π/2 k это решение эквивалентно объединению 4-х решений:
x=2πk
█(x=π+2πk@x=π/2+2πk)
x=-π/2+2πk Проверим, 1 и 4 не подходит
Ответ: х=π+2πk x=π/2+2πk

V способ Введение вспомогательного угла.
〖 sin〗⁡〖xcos π/4〗-cos⁡〖x sin⁡〖π/4〗 〗=1/√2
sin⁡〖(x-〗 π/4)=√2/2 и т.д.

Самостоятельная работа
I вариант II вариант
tg^2 x - (1+√3) tg x + √3 = 0
Ответ: x= π/4 + πk ; x=π/3 + πk 〖2tg〗^2 3x - 3tg 3x + 1 = 0
Ответ: x= π/4 + πk ; x=arctg1/2 + πk
1 + cos⁡〖x+ cos⁡〖2x=〗 〗 0
Ответ: x= π/2 + πk ; x=±2/3 π + 2πk tgx (2cos⁡〖x -3〗 sin⁡〖x)=0〗
Ответ: x= πk ; x= arctg 2/3+ πk
〖sin〗^2 x – 5sin⁡x cos⁡〖x+4〖cos〗^2 x=〗 0
Ответ: x= π/4 + πk ;
x=arctg4 + πk 〖2sin〗^2 x/2 –3sin⁡〖x/2〗 cos⁡〖x/2-〖2cos〗^2 x/2=〗 0
Ответ: x=2 arctg2 + πk ;
x=-2 arctg 1/2 + πk

Д/З - задания на карточках.
Категория: Лучшая методическая разработка | Добавил: luchko | Теги: семинар, Повторение, обобщение, тригонометрия
Просмотров: 1258 | Загрузок: 88 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Поиск

Материалы

Бесплатный диплом обучение требования дети 6 класс Развитие речи $IMAGE1$ АЛЬБОМ ПО РАЗВИТИЮ ПРОСТЫХ ФОРМ ЗВУ познание АМо конспект занятия ИКТ Системно-деятельностный подход Презентация 2 класс Adobe Photoshop история лес белка сказкотерапия биология 5 класс И.Н. Пономарёва аккорлы География анализ учебника антициклоны атмосферные фронты проект семинар City country конспект урок 8 вид блюз Алгоритм химия 8 класс 5-9 классы Математика 5 класс 5 класс английский язык урок обучен технологическая карта урока предлог африканская чума свиней Открытый урок сценарий урок математики 1 класс фгос музыка Английский язык конкурс Collections 9 класс математики Уроки элементами воспитания. экологического школа учитель спорт английский Рождество литература 10 класс 11 класс русский язык коррекционная школа приставка Бородино автоматизация звуков безопасность дошкольное образование биология 5 класс УМК Школа 2100 занятие 9 мая ВОВ воспитание образование сайт опыт благодарности и сертификаты здоровьесберегающие технологии Программа Физика #environmental protection #визуализация #технология учебных вопросов Интегрированное занятие информатика конспект урока биология обществознание 4 класс Великая Отечественная война толерантность методическая разработка внеклассное мероприятие игра

Счетчик